Người được ghi nhận phát hiện quy tắc này là Gottfried Leibniz, ông đã chứng minh quy tắc nhân bằng các sử dụng vi phân.[1] (Tuy nhiên, còn có lập luận rằng đó là do Isaac Barrow.) Dưới đây là chứng minh của Leibniz: Cho u(x) và v(x) là 2 hàm số khả vi với x. Khi đó vi phân của uv bằng

d ( u ⋅ v ) = ( u + d u ) ⋅ ( v + d v ) − u ⋅ v = u ⋅ d v + v ⋅ d u + d u ⋅ d v . {\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}

Do tích du·dv là "không đáng kể" (so với du và dv), Leibniz khẳng định rằng

d ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u + u ⋅ d v {\displaystyle {\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv}}

Công thức này là thực chất là dạng vi phân của quy tắc nhân. Nếu chia vi phân dx cho 2 vế, ta có

d d x ( u ⋅ v ) = v ⋅ d u d x + u ⋅ d v d x {\displaystyle {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}}

mà viết lại theo ký hiệu Lagrange là

( u ⋅ v ) ′ = v ⋅ u ′ + u ⋅ v ′ . {\displaystyle {\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.}}